Dispersión de Mie y teoría de Mie Explicación sobre el uso del índice de refracción en la medición láser del tamaño de partículas

Como la superficie de una partícula genera un campo electromagnético por la presencia de electrones y la luz representa una radiación electromagnética, puede interactuar para producir un fenómeno conocido como dispersión o difracción de Mie. La dispersión de Mie, así como la teoría de Mie correspondiente, reciben su nombre del físico alemán Gustav Mie (1868-1957), quien calculó este fenómeno por primera vez a principios del siglo XX.

La dispersión de Mie, a cierta distancia de la partícula en dirección a la luz incidente, es un patrón que se desarrolla en función del tamaño de la partícula y de la longitud de onda de la luz incidente. A partir de este patrón de dispersión de Mie se puede obtener información relacionada con la distribución del tamaño del material.

Algunos materiales no transmiten la luz y absorben la energía. En estos casos, cabe suponer que la sustancia tiene un índice de refracción extremadamente alto y un componente imaginario amplio (véanse las partículas transparentes a continuación). En estas condiciones, los cálculos pueden ser aquellos descritos por la teoría de Fraunhofer.

La luz también puede reflejarse a partir de la superficie de una sustancia, y el uso de estos datos para medir el tamaño sería objeto de un tema aparte.

Un tercer supuesto de interacción es un caso especial que se da cuando el material es algo transparente. En este caso, la luz atraviesa la partícula de forma similar a como lo haría a través de un diamante. En un diamante se refracta y se produce su brillo característico, pero al atravesar una partícula se puede contribuir al patrón de dispersión/difracción de Mie. Este efecto se analizará más adelante.

Dispersión de Mie y teoría de Mie en los analizadores de partículas de Microtrac

Distintos analizadores de Microtrac aplican la dispersión de Mie y la teoría de Mie para analizar partículas.

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Dispersión de Mie y teoría de Mie ¿De qué depende cada uno de los puntos anteriores y cómo interactúan?

Como ya se indicó anteriormente, la difracción/dispersión de Mie depende únicamente del tamaño de la partícula. La reflexión no afecta a la difracción, pero puede afectar a la refracción si la superficie es lo suficientemente reflectante. El efecto en la refracción limitaría la cantidad de luz que entra en la partícula y, por lo tanto, reduciría el efecto de la refracción en un patrón de difracción.

La refracción puede afectar considerablemente a un patrón de difracción/dispersión de Mie, pero la magnitud del efecto depende en gran medida del tamaño y la forma del material.

Una esfera transmitirá el mismo patrón de refracción independientemente de su orientación. En un sistema de medición en el que la partícula esférica cambia constantemente de orientación con respecto a la luz incidente, el patrón siempre es idéntico y da lugar a información externa bien definida y reforzada que puede distorsionar o interferir con el cálculo del tamaño de la partícula a partir del patrón de difracción (figura 1).

El impacto de la refracción también se ve profundamente afectado por la forma de la partícula. Las partículas no esféricas pueden refractar la luz y generar un patrón de dispersión superpuesto al patrón de difracción, como ocurre con una partícula esférica. No obstante, el efecto es ligeramente diferente.

No olvide que las partículas están en movimiento y cambiarán de orientación como resultado del mismo. Cada cambio de orientación resulta en una superficie nueva y diferente por la que la luz entra y se refracta. Al salir, aparece un nuevo patrón de refracción superpuesto al patrón de difracción.

No se producen los efectos de refuerzo observados en una partícula esférica. El patrón refractado se extiende por el patrón de difracción como un patrón relativamente constante y le afecta mucho menos que a una partícula esférica (figura 2).

figura 1

La luz dispersa se concentra en un punto. El cambio de orientación no afecta.

$Dispersión de Mie y teoría de Mie - El pico secundario es una interferencia (combinación) de patrones resultante de la luz refractada a través de la esfera y difractada en la superficie.$

El pico secundario es una interferencia (combinación) de patrones resultante de la luz refractada a través de la esfera y difractada en la superficie.

$Dispersión de Mie y teoría de Mie - La luz dispersa se distribuye de manera uniforme y no se concentra en un punto específico. Por lo tanto, el efecto del índice de refracción de las partículas con forma irregular es muy inferior que el de las esféricas, y las correcciones son mucho menores.$

figura 2

La luz dispersa se distribuye de manera uniforme y no se concentra en un punto específico. Por lo tanto, el efecto del índice de refracción de las partículas con forma irregular es muy inferior que el de las esféricas, y las correcciones son mucho menores.

Dispersión de Mie y teoría de Mie ¿Cómo se corrigen los posibles errores en el patrón de difracción que puede causar la refracción?

Se requiere la teoría de Mie: en partículas esféricas se pueden utilizar los conceptos ampliamente aceptados de la teoría desarrollada por Gustav Mie. Esta compensación se conoce popularmente como la «teoría de Mie» y describe el efecto de las formas esféricas sobre la luz. La teoría de Mie abarca los aspectos del índice de refracción de la partícula en relación con el índice de refracción del medio circundante, así como la eficacia de dispersión del material transparente. La eficacia de dispersión puede entenderse como la capacidad relativa de un material para dispersar la luz. Según la teoría de Mie, la cantidad de dispersión varía de manera no lineal con el tamaño.

No se requiere la teoría de Mie: si un material no es transparente (como en el caso del negro de carbón), no es necesaria la compensación de la teoría de Mie en la refracción, pero sí se debe incluir el cálculo de la eficacia de dispersión. En los instrumentos de Microtrac, los materiales como pigmentos oscuros, el negro de carbón y los metales se consideran absorbentes de luz (no transparentes). La selección adecuada en el software de Microtrac resuelve esta situación, un programa donde se pueden utilizar los cálculos de la teoría de Fraunhofer.

Dispersión de Mie y teoría de Mie Dispersión de luz de partículas transparentes.

Piense únicamente en el caso de las partículas transparentes. Y piense también que el índice de refracción tiene dos términos que podrían considerarse independientes entre sí hasta cierto punto. Estos se reconocen por los nombres de componente real y componente imaginario del índice de refracción. Según la teoría de Mie, cada uno tiene un efecto particular en la compensación en combinación con la eficacia de la dispersión. La suposición de que el índice de refracción no afecta a la dispersión de la luz (correcta en el caso del negro de carbón) reducirá la teoría de Mie a la perfectamente conocida teoría de difracción de Fraunhofer. Pueden producirse errores a la hora de determinar la distribución del tamaño si se aplica la difracción de Fraunhofer en casos en los que las partículas son transparentes y, por lo tanto, es necesario aplicar la teoría de Mie para partículas esféricas u otra compensación para partículas no esféricas.

N = m-ik, donde «N» es el índice de refracción total, es una combinación del componente real (m) para una sustancia comparada con el vacío y el componente imaginario (ik). La terminología se deriva del estudio de los números complejos. En el caso de la medición del tamaño con partículas suspendidas en un líquido, el valor «k» representa el coeficiente de extinción (relacionado con el coeficiente de absorción del material y la longitud de onda), «i» es √-1 y «m» es el índice de refracción relativo (IR de la muestra/IR del líquido, cada uno medido en comparación con el vacío). En resumen, la luz difractada pura es la información más conveniente que debe utilizarse en las mediciones del tamaño. El índice de refracción relativo define dónde se enfocará y dispersará la luz de salida, mientras que el componente imaginario indica la intensidad de la luz refractada. Si el componente imaginario es muy bajo, la intensidad de la refracción será alta.

Por lo tanto, en el caso de la alúmina, la ecuación sería N = 1,76/1,33 - ik. Esta ecuación se cumple si se conoce el valor de ik. Desafortunadamente, no se dispone fácilmente de estos valores en los estudios y son difíciles de obtener con experimentos. Otro aspecto a considerar en el uso del componente imaginario es evaluar su influencia en el cálculo de N y la compensación de Mie.

Dado que este debate es un enfoque conceptual, explicativo y no matemático, no se aporta la demostración matemática de lo siguiente, pero se anima al lector a estudiar el área tal y como se desarrolla íntegramente a partir del tratamiento de Maxwell. A continuación, se presenta un resumen de los efectos de un valor de IR y su correspondiente componente imaginario para una partícula.

Dispersión de Mie y teoría de Mie Partículas esféricas transparentes (figura 1)

Cuando las partículas son inferiores a 1 micra, transparentes y poco absorbentes (p. ej., vidrio con bajo índice de refracción), el paso de la luz a través de ellas es muy corto, no se produce absorción y el término imaginario puede asumirse como cero. Lo que queda es el índice de refracción relativo (relación de los valores de IR), que sigue influyendo en el patrón de dispersión resultante de la refracción de la luz a través del material.

Cuando las partículas superan aproximadamente las 10-30 micras, la cantidad de luz transmitida es muy baja y, en general, el efecto de la refracción es minúsculo. En tamaños mucho mayores, se pueden utilizar las ecuaciones de aproximación de la teoría de Fraunhofer para los cálculos.

En el rango de aproximadamente 1 a 10 micras, puede haber efectos derivados de la absorción, pero solo si el valor de k es del orden de 0,5 a 1,0 (valores imaginarios altos). Entre los valores que se consideran altos se incluyen el negro de carbón (0,66i) y los metales (el componente imaginario puede ser muy alto, «m» es muy bajo debido a la alta reflectancia; por lo tanto, no se requiere corrección por refracción y puede tratarse como difracción de Fraunhofer).

Dispersión de Mie y teoría de Mie Partículas transparentes no esféricas (figura 2)

Dispersión de Mie y teoría de Mie - La luz dispersa se distribuye de manera uniforme y no se concentra en un punto específico. Por lo tanto, el efecto del índice de refracción de las partículas con forma irregular es muy inferior que el de las esféricas, y las correcciones son mucho menores. — figura 2

Si las partículas no son esféricas, sino transparentes, la compensación (cálculo) no es la misma que para las partículas esféricas. En formas NO ESFÉRICAS, la orientación cambia constantemente (figura 2). Entonces, los componentes refractados producen un patrón de refracción combinado debido a las múltiples orientaciones presentadas la luz incidente.

El patrón resultante tiene poca definición al combinarse con el patrón de difracción, pero todavía requiere cierta compensación. Dado que el componente imaginario es una corrección menor al componente relativo (real), su efecto es insignificante y puede ignorarse. Esto mismo se indica en la figura 3, donde se consideran tres formas: esférica transparente, no esférica transparente y absorbente.

Con el tamaño valorado en el diagrama, observe que existe una fuerte resonancia en las partículas esféricas. En comparación, las partículas no esféricas transparentes del mismo tamaño muestran una reducción considerable de la resonancia, hasta el punto de aproximarse a una partícula completamente absorbente. En este caso, no se deben aplicar los cálculos estrictos de la teoría de Mie (partículas esféricas), lo que justifica el uso de la teoría de Mie modificada en los instrumentos de Microtrac.

Además, el componente refractivo es mucho menos importante (aunque no del todo). Como el componente imaginario suele ser un efecto secundario débil en comparación con el componente real, este componente apenas es importante en materiales con forma no esférica.

Dispersión de Mie y teoría de Mie Con lo que se ha debatido, ¿cómo puede aplicarse la compensación?

A partir de lo anterior se podrían desarrollar varios enfoques respecto al índice de refracción. En uno de ellos, el concepto puede ignorarse por completo y utilizarse exclusivamente la teoría de difracción de Fraunhofer. Sin embargo, esto puede generar una luz externa refractada con ángulos de dispersión más amplios, lo que a su vez daría lugar a informes erróneos en las colas de distribución, especialmente en la porción de partículas más finas. La dispersión de Mie para partículas esféricas puede aplicarse junto con unos valores del índice de refracción relativos e imaginarios, si es que se conocen. Esto podría implementarse tanto para partículas esféricas como no esféricas (según se indica en la figura 3, esta puede ser una opción de cálculo imprudente para ambos tipos de formas).

Normalmente se desconoce el componente imaginario y la selección del valor «correcto» se realiza de forma empírica escogiendo valores de compensación (ambos componentes del índice de refracción), en base a la opinión del operador sobre la distribución granulométrica «correcta» de las partículas de dispersión de luz. También puede seguirse el mismo enfoque empírico cuando se desconocen ambos valores. Estos dos últimos enfoques presentan una ciencia inapropiada y son foco de graves errores si cambia el tamaño de partícula, incluso levemente, porque la selección incorrecta (no científica) de los valores puede derivar en una compensación insuficiente o excesiva; sobre todo en lo que respecta a la ausencia o presencia de pequeñas cantidades de partículas finas en la distribución.

$Dispersión de Mie y teoría de Mie - En la figura 3 se muestra la respuesta de la luz a una partícula de 6 micras, con un índice de refracción de 1,54. Los picos principales se representan desplazados a propósito, ya que los patrones son idénticos para el tamaño indicado. A la derecha se observa que la refracción de partículas transparentes no esféricas se asemeja más a una respuesta absorbente que a una curva esférica. Microtrac ha desarrollado cálculos especiales que se utilizan para considerar este efecto en partículas no esféricas.$

figura 3

En la figura 3 se muestra la respuesta de la luz a una partícula de 6 micras, con un índice de refracción de 1,54. Los picos principales se representan desplazados a propósito, ya que los patrones son idénticos para el tamaño indicado. A la derecha se observa que la refracción de partículas transparentes no esféricas se asemeja más a una respuesta absorbente que a una curva esférica. Microtrac ha desarrollado cálculos especiales que se utilizan para considerar este efecto en partículas no esféricas.

Dispersión de Mie y teoría de Mie ¿Cómo aborda Microtrac el problema del índice de refracción?

Teniendo en cuenta la información anterior, los instrumentos de difracción láser de Microtrac aplican el siguiente enfoque indicado aquí y en la figura 4. En el caso de materiales esféricos y transparentes, se requiere el índice de refracción del líquido de suspensión y de las partículas. Debido a lo anterior, no es necesario considerar el componente imaginario.

En el caso de partículas NO ESFÉRICAS, la refracción se considera con la selección de la muestra y el líquido de IR, lo que determina la compensación adecuada en los cálculos (cálculos de la teoría de Mie modificada, propiedad de Microtrac), según datos propios de investigación y desarrollo.

Hay una tercera opción para materiales sumamente absorbentes, como el negro de carbón y los tóneres.

Dispersión de Mie y teoría de Mie - Selección de parámetros adecuados para calcular la distribución del tamaño con los analizadores de Microtrac.

figura 4

Selección de parámetros adecuados para calcular la distribución del tamaño con los analizadores de Microtrac.

Dispersión de Mie y teoría de Mie Resumen

El componente imaginario del índice de refracción total presente un escaso efecto en la refracción de la luz a través de una partícula, salvo en zonas de 1 a 10 micras. Incluso en este rango de tamaños, el efecto tiene peso cuando el componente imaginario es del orden del negro de carbón (0,66i) o superior (metales reflectantes).

En el caso de partículas no esféricas, el índice de refracción suele afectar menos a la distribución del tamaño calculada, pero sigue requiriendo una pequeña compensación a partir de datos determinados de manera parcialmente empírica. En estas condiciones, el componente imaginario no tiene importancia y puede ignorarse. En general, podría decirse que el componente imaginario tiene un efecto insignificante en las mediciones de partículas que dispersan la luz por difracción, excepto en casos muy específicos, que rara vez se dan.

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Dispersión de Mie y teoría de Mie Referencias:

«Principles of Optics: Electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light». Max Born y Emil Wolf, 6.ª ed. Pergammon Press
«Encyclopedic Dictionary of Physics». J Thesis. The Macmillan Company.
«Vibrations, Waves, and Diffraction». H.J.J. Braddock, B.A., Ph.D. McGraw-Hill Book Company.
«The Practicing Scientists Handbook». Alfred J. Moses. Van Nostrand Reinhold Company